☛ Cercle circonscrit à un triangle - Solutions

Exercice  1

Soit \(\text{ABCD}\) un rectangle.
On note \(\text{O}\) le milieu de \([\text{AC}]\) et \(\mathscr{C}\) le cercle circonscrit au triangle \(\text{ABC}\).
1. Justifier que le point \(\text{O}\) est le centre du cercle \(\mathscr{C}\).
2. Démontrer que le point \(\text{D}\) appartient au cercle \(\mathscr{C}\).

Solution

1. \(\text{ABC}\) est un triangle rectangle en \(\text{B}\).
\([\text{AC}]\) est l'hypoténuse du triangle \(\text{ABC}\). Donc \([\text{AC}]\) est un diamètre du cercle \(\mathscr{C}\).
\(\text{O}\) est le milieu de \([\text{AC}]\), donc \(\text{O}\) est le centre du cercle \(\mathscr{C}\).
2. \(\text{ADC}\) est un triangle rectangle en \(\text{D}\). Donc \(\text{D}\) appartient au cercle de diamètre \([\text{AC}]\).
D'où \(\text{D}\) appartient à \(\mathscr{C}\).

Exercice 2

Soit \(\text{A}\) et \(\text{B}\) deux points tels que \(\text{AB}=8\).
Soit \(\mathscr{C}\) un demi-cercle de diamètre \([\text{AB}]\).
Soit \(\text{C}\) le point du demi-cercle \(\mathscr{C}\) tel que \(\widehat{\text{ABC}}=40^°\).
1. Quelle est la nature du triangle \(\text{ABC}\) ?
2. Calculer la longueur \(\text{AC}\). Arrondir au dixième.

Solution

1. \(\mathscr{C}\) est le demi-cercle de diamètre \([\text{AB}]\).
\(\text{C}\) est un point du demi-cercle \(\mathscr{C}\) distinct de \(\text{A}\) et \(\text{B}\).
Donc \(\text{ABC}\) est un triangle rectangle en \(\text{C}\).
2. Dans le triangle \(\text{ABC}\) rectangle en \(\text{C}\), on a \(\sin \left(\widehat{\text{ABC}}\right)=\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}\).
D'où \(\text{AC}=\text{AB}\sin \left(\widehat{\text{ABC}}\right)\), soit \(\text{AC}=8\sin(40^\text{o})\approx 5{,}1\).